imetrías

Seguramente alguna vez has oído hablar de "simetría", de que algún objeto sea o no simétrico, y probablemente en la escuela, en la clase de matemáticas, hayas buscado ejes de simetrías en distintas figuras. Pues bien, esta actividad es justamente sobre simetrías. Se dice que una figura es simétrica si podemos encontrar una línea imaginaria que la corte en dos partes iguales, o si al colocar un espejo a la mitad de la figura, el reflejo y la mitad de la figura forman la figura completa. (espejo eje de simetría) Esta actividad consiste en crear diferentes figuras que sean simétricas, y además encontrar y conocer otros tipos de simetrías. Para esta actividad necesitarás papel delgado como el papel de china y  tijeras Primera simetría La simetría que se describió al principio se llama simetría bilateral o simetría de reflexión. ¿Quieres aprender a recortar figuras con simetría de reflexión? Pues adelante… Primero corta una hoja de papel china de 20 x 20 centímetros o sea corta el papel en forma de un cuadrado. Ahora dóblalo a la mitad tal y cómo se muestra en alguno de los dos dibujos.   Piensa en la figura que quieres que te salga recortada, dibuja la mitad de esa figura en una de las mitades de la hoja doblada, de manera que la mitad del dibujo quede en la parte donde se dobló la hoja. Aquí tienes unos ejemplos:   Recorta tu dibujo por la orilla y tendrás una figura simétrica, con simetría de reflexión.   Decórala a tu gusto, y crea muchas más figuras simétricas Segunda simetría Para descubrir que tipo de simetría es la siguiente, realizemos primero la actividad. Corta un rectángulo de papel de china de 40 x 20 centímetros. Dobla a la mitad el rectángulo por el lado más largo, tal y cómo se ve en el dibujo Vuelve a doblar a la mitad el rectángulo, exactamente de la misma forma y en el mismo sentido que lo hiciste la primera vez. Observa el dibujo: Haz un dibujo en el rectángulo que quedó despues de hacer los dos dobleces.   Recorta tu dibujo por la orilla.  Es importante que en los dobleces quede un poco de papel sin cortar Has obtenido una cadena de dibujos iguales, a esto se le llama simetría de traslación, pues con sólo mover o trasladar la primera figura, la puedes hacer coincidir con las demás. Si quieres que la cadena te quede más larga, basta hacer mas dobleces en el papel antes de hacer tu dibujo, pero recuerda, los dobleces deben ir siempre en la misma dirección. Tercera simetría Para realizar esta actividad necesitarás un cuadrado de papel de 30 x 30 centímetros. Dobla tu papel por la mitad Ahora dóblalo otra vez a la mitad, pero esta vez al revés, si el primer doblez lo hiciste hacia la izquierda o hacia la derecha, el segundo deberás hacerlo hacia arriba o hacia abajo. Con los dobleces que hiciste obtendrás un cuadrado más pequeño. Ahora viene el doblez más difícil, ¿estás listo? Dobla tu cuadradito por la diagonal , como lo muestra el dibujo En el triángulo que te queda haz un dibujo que no toque las puntas del triángulo. Recorta el dibujo que hiciste y obtendrás una figura con simetría de rotación. La figura que te quedó se dice que tiene simetría de rotación porque si la giras o rotas, adecuadamente, obtendrás la misma figura que tenías al principio. Usando la simetría de rotación podemos realizar los famosos papeles picados que se usan en los altares de día de muertos; sólo que en los altares, lo que se cuelga no es la figura en sí sino el cuadrado de papel con el hueco que dejó el dibujo al recortarlo. Un ejemplo, hacemos los dobleces necesarios en nuestro cuadrado de papel de china y marcamos figuritas en el triángulo Recortamos las figuras y desdoblamos: Y así queda ¡Adelante ya tienes varias técnicas para hacer nuevos diseños, combínalas y diviértete con las matemáticas!   FIGURAS SIMÉTRICAS Llamamos figuras simétricas a las que tienen una o más líneas de simetría. Todos los polígonos regulares (son los que tienen lados y ángulos iguales) son figuras simétricas y tienen tantos ejes de simetría como lados. Aunque no nos hemos referido a los ejes de simetría horizontales también cumplen con todo lo dicho al referirnos a los verticales: Un pentágono regular es simétrico respecto a un eje de simetría horizontal (en color amarillo). En el ejemplo siguiente tenemos un rombo y comprobamos que su diagonal transversal nos sirve como eje de simetría horizontal. Si  dibujas varios rombos seguidos unos de otros, y trazas un eje de simetría horizontal externo nos quedaría: Podemos conseguir efectos interesantes si cada fila de rombos los pintamos de colores diferentes: 15.111  ¿Cuántos ejes de simetría tiene un cuadrado?.Dibújalas. Respuesta: 4 ejes de simetría. Dibujo Las dos diagonales y las dos que unen los puntos medios de cada lado.  15.112  ¿Cuántos ejes de simetría tiene un triángulo equilátero? Dibújalos. Respuesta: 3 ejes de simetría por tener sus lados y ángulos iguales. Dibujo: 15.113  ¿Cuántos ejes de simetría tiene un hexágono regular? Dibújalos. Respuesta: 6 ejes de simetría. Dibujo:  Si por cualquiera de las líneas de color doblase el papel que contuviera esta figura, coincidirían ángulos y líneas.  15.114  ¿Cuántos ejes de simetría un triángulo isósceles? Razona tu respuesta. Dibuja. Respuesta: 1 eje de simetría. No es un polígono regular, de los tres lados y tres ángulos, dos son iguales, luego al no ser un polígono regular, no tiene tantos ejes de simetría como número de lados. Dibujo: 15.115  ¿Cuántos ejes de simetría un trapecio isósceles? Razona tu respuesta. Dibuja. Respuesta: 1 eje de simetría. Al no tener sus 4 lados y ángulos iguales su único eje de simetría vendría dado por su altura siempre que ésta una los puntos medios de los lados paralelos. Dibujo: 15.116  ¿Cuántos ejes de simetría un trapecio rectángulo? Razona tu respuesta. Dibuja. Respuesta: Ninguno por no tener sus lados diferentes no es un polígono regular. Generalmente, los polígonos irregulares no son simétricos. Dibujo: No hay posibilidad de trazar ningún eje de simetría.  15.117   ¿Cuántos ejes de simetría tiene un triángulo escaleno? Dibújalo. Respuesta: Ninguno. Dibujo:  Tienen distintas medidas sus lados y ángulos, por lo tanto, no es una figura simétrica.   Simetría Simetría axial Una simetría axial de eje e es una transformación, por tanto a todo punto P del plano le corresponde otro punto P' también del plano, de manera que el eje e sea la mediatriz del segmento AA'. Las simetrías axiales son isometrías porque conservan las distancias entre los puntos y sus homólogos. Coordenadas de puntos mediante simetrías axiales Coordenadas de un punto simétrico al eje de ordenadas Dos puntos A(x, y) y A'(x', y') simétricos respecto del eje de ordenadas tienen sus abscisas opuestas y sus ordenadas iguales. P(x, y)  P(-x, y) x = -x' y = y' Coordenadas de un punto simétrico al eje de abscisas Dos puntos A(x, y) y A'(x', y') simétricos respecto del eje de abscisas tienen sus abscisas iguales y sus ordenadas opuestas. P(x, y)  P(x, -y) x = x' y = -y' Composición de simetrías axiales Simetría de ejes paralelos La composición de dos simetrías ejes paralelos e y e' es una traslación, cuyo vector tiene: La longitud del vector es el doble de la distancia entre los ejes. La dirección del vector es perpendicular a los ejes. El sentido es el que va de e a e'. Simetría de ejes perpendiculares La composición de dos simetrías de ejes perpendiculares e y e' es una simetría central respecto del punto de corte de los dos ejes de simetría. Eje de simetría El eje de simetría de una figura es la recta que divide a la figura en dos partes iguales, de modo que define una simetría axial entre una parte y otra. Simetría central Una simetría central, de centro el punto O, es un movimiento del plano con el que a cada punto P del plano le hace corresponder otro punto P', siendo O el punto medio del segmento de extremos P y P'. Coordenadas mediante una simetría de centro O(0,0) Un punto P' homólogo de un punto P(x,y) mediante una simetría central de centro O(0,0) tiene de coordenadas: Una simetría de centro O equivale a un giro de centro O y amplitud 180°.   P' = (-x, -y) x' = -x       y' = -y Coordenadas mediante una simetría de centro O(a, b) Un punto P' homólogo de un punto P(x,y) mediante una simetría central de centro O(a ,b) tiene de coordenadas: P' = (-x+ 2a, -y+ 2b) x' = -x + 2a y' = -y + 2b Composición de simetrías centrales Con el mismo centro Como una simetría de centro O equivale a un giro de centro O y amplitud 180°, al aplicar otra transformación el ángulo será de 360°, por lo que se obtiene la misma figura, lo que se llama involución. Es una transformación involutiva. Con distinto centro La composición de dos simetrías centrales con distinto centro es una traslación. Centro de simetría Un punto es centro de simetría de una figura si define una simetría central.